Question

12．若橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上一點P與兩焦點構成的三角形面積是$\frac{36}{5}$，則點P的坐標為（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{9}{5}$）；（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{9}{5}$）；（$-\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{9}{5}$）；（$-\frac{\sqrt{10}}{2}$，$-\frac{9}{5}$）．

Answer 1

分析 求出焦距，利用三角形的面積求出三角形的高，通過橢圓方程求解坐標即可．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦距為：8，橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上一點P與兩焦點構成的三角形面積是$\frac{36}{5}$，
可得$\frac{36}{5}=\frac{1}{2}×8×h$，解得h=$\frac{9}{5}$，即P的縱坐標為：±$\frac{9}{5}$，
代入橢圓方程可得$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{（\frac{9}{5}）}^{2}}{9}=1$，
解得x=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
所求P的坐標（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{9}{5}$）；（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{9}{5}$）；（$-\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{9}{5}$）；（$-\frac{\sqrt{10}}{2}$，$-\frac{9}{5}$）．
故答案為：（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{9}{5}$）；（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{9}{5}$）；（$-\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{9}{5}$）；（$-\frac{\sqrt{10}}{2}$，$-\frac{9}{5}$）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應用，是基礎題．