Question

1．在滿足極坐標和直角坐標互化條件下，極坐標方程ρ²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$經(jīng)過直角坐標系下的伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{2}x}\\{y′=\frac{\sqrt{3}}{3}y}\end{array}\right.$后，得到的曲線是（　�。�

• A． 直線
• B． 橢圓
• C． 雙曲線
• D． 圓

Answer 1

分析 先把極坐標方程化為直角坐標方程，再經(jīng)過直角坐標系下的伸縮變換，把直角坐標方程中的x，y分別換成得$2{x}^{'}，\sqrt{3}{y}^{'}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵極坐標方程ρ²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，
∴3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
∴直角坐標方程為：3x²+4y²=12，
即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴經(jīng)過直角坐標系下的伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{2}x}\\{y′=\frac{\sqrt{3}}{3}y}\end{array}\right.$后，
得到的曲線方程為$\frac{（2{x}^{'}）^{2}}{4}+\frac{（\sqrt{3}{y}^{'}）^{2}}{3}$=12，即x^'2+y^'2=12，
∴得到的曲線是圓．
故選：D．

點評 本題考查曲線形狀的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意極坐標方程、直角坐標方程和直角坐標系下的伸縮變換公式的合理運用．