Question

5．假設平面α∩平面β=EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分別為B，D，若增加一個條件，就能推出BD⊥EF．現(xiàn)有下面四個條件：
①AC⊥α；②AC與α，β所成的角相等；③AC與CD在β內的射影在同一條直線上；④AC∥EF
其中能成為增加條件的是①③（把你認為正確的條件序號都填上）

Answer 1

分析 要增加一個條件，推出BD⊥EF，由AB⊥α，CD⊥β，則平面ABDC與EF垂直，需要加一個條件能夠使得線與面垂直，把幾個選項逐個分析，得到結論．

解答 解：①∵AB⊥α，AC⊥α
∴AB∥AC
∴A，B，C三點共線；
∴A，C，B，D共面；
因為AC⊥α，且EF?α，所以AC⊥EF．
又AB⊥α且EF?α，所以EF⊥AB．
因為AC∩AB=A，AC?平面ACBD，AB?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因為BD?平面ACBD，所以BD⊥EF．
所以①可以成為增加的條件．
②AC與α，β所成的角相等，AC與EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF與平面ACDB不垂直，所以就推不出EF與BD垂直．所以②不可以成為增加的條件．
③AC與CD在β內的射影在同一條直線上
因為CD⊥α且EF?α所以EF⊥CD．
所以EF與CD在β內的射影垂直，
AC與CD在β內的射影在同一條直線上
所以EF⊥AC，
因為AC∩CD=C，AC?平面ACBD，CD?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因為BD?平面ACBD所以BD⊥EF．
所以③可以成為增加的條件．
④若AC∥EF，則AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF．
所以④不可以成為增加的條件．
故答案為：①③．

點評 本題考查空間中直線與平面的位置關系，解題的關鍵是利用線面垂直的判定和性質來說清楚題目的對錯，屬于中檔題．