Question

16．如圖所示，公園內(nèi)有一塊邊長為2a的等邊△ABC形狀的三角地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上．
（Ⅰ）設(shè)AD=x（x≥a），DE=y，試用x表示y的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）如果DE是灌溉水管，為節(jié)約成本希望它最短，DE的位置應(yīng)該在哪里？如果DE是參觀線路，則希望它最長，DE的位置又在哪里？請給予證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABC計(jì)算可知AE=$\frac{2{a}^{2}}{x}$，進(jìn)而利用余弦定理計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過換元令x²=t及（I）可知y=$\sqrt{t+\frac{4{a}^{2}}{t}-2{a}^{2}}$（a²≤t≤4a²），通過對f（t）=t+$\frac{4{a}^{2}}{t}$-2a²，t∈[a²，4a²]求導(dǎo)可知函數(shù)y=f（t）在[a²，2a²]上單調(diào)遞減、在[2a²，4a²]上單調(diào)遞增，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）依題意可知a≤x≤2a，
∵S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•x•AEsin60°=$\frac{1}{4}$AB²•sin60°，
∴AE=$\frac{2{a}^{2}}{x}$，
在△ADE中，由余弦定理得：y²=x²+$\frac{4{a}^{4}}{{x}^{2}}$-2a²，
∴y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4{a}^{4}}{{x}^{2}}-2{a}^{2}}$（a≤x≤2a）；
（Ⅱ）結(jié)論：如果DE是灌溉水管，則DE∥BC且$AD=\sqrt{2}a$；如果DE是參觀線路，DE為△ABC的邊AB或AC的中線．
理由如下：
令x²=t，由（I）可知y=$\sqrt{t+\frac{4{a}^{2}}{t}-2{a}^{2}}$（a²≤t≤4a²），
令f（t）=t+$\frac{4{a}^{2}}{t}$-2a²，t∈[a²，4a²]，則f′（t）=1-$\frac{4{a}^{2}}{{t}^{2}}$，
令f′（t）=0可知t=2a²，
∴函數(shù)y=f（t）在[a²，2a²]上單調(diào)遞減、在[2a²，4a²]上單調(diào)遞增，
又∵f（a²）=3a²，f（2a²）=2a²，f（4a²）=3a²，
∴當(dāng)t=2a²即x=$\sqrt{2}$a時(shí)，y有最小值$\sqrt{2}a$，
此時(shí)AE=$\frac{2{a}^{2}}{\sqrt{2}a}$=$\sqrt{2}a$即DE∥BC，且$AD=\sqrt{2}a$；
當(dāng)t=a²或4a²即x=a或2a時(shí)，y有最大值$\sqrt{3}a$，
此時(shí)AE=$\frac{2{a}^{2}}{a}$=2a或AE=$\frac{2{a}^{2}}{2a}$=a，即DE為△ABC的邊AB或AC的中線．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．