9.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,P為線(xiàn)段AD1上的動(dòng)點(diǎn),
(1)當(dāng)P為AD1中點(diǎn)時(shí),求證:PD⊥平面ABC1D1
(2)求證:無(wú)論P(yáng)在何處,三棱錐D-PBC1的體積恒為定值;并求出這個(gè)定值.

分析 (1)由正方形ADD1A1可得PD⊥AD1,由AB⊥平面ADD1A1可得AB⊥PD,故而PD⊥平面ABC1D1;
(2)三棱錐P-BDC1的底面積為定值,由AD1∥BC1可知AD1∥平面BDC1,故P到平面BDC1的距離為定值,當(dāng)P與A重合時(shí),求出三棱錐C1-ABD的體積即可.

解答 證明:(1)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面AA1D1D,PD?平面AA1D1D,
∴AB⊥PD.
∵AD=AA1,∴四邊形AA1D1D為正方形,P為對(duì)角線(xiàn)AD1 的中點(diǎn),
∴PD⊥AD1,
又∵AB∩AD1=A,AB?平面ABC1D1,AD1?平面ABC1D1,
∴PD⊥平面ABC1D1
(2)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,
∵AD1∥BC1,BC1?平面BDC1,AD1?平面BDC1,
∴AD1∥平面BDC1,
∵P為線(xiàn)段AD1上的點(diǎn),
∴點(diǎn)P到平面BDC1的距離為定值.而三角形BDC1的面積為定值,
∴三棱錐P-BDC1的體積為定值,即三棱錐D-PBC1的體積為定值.
V${\;}_{D-PB{C}_{1}}$=V${\;}_{P-BD{C}_{1}}$=V${\;}_{A-BD{C}_{1}}$=V${\;}_{{C}_{1}-ABD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•C{C}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1=\frac{1}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面垂直的判定,棱錐的體積計(jì)算,屬于中檔題.

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(Ⅰ)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為平均車(chē)速超過(guò)100km/h的人與性別有關(guān).
平均車(chē)速超過(guò)100km/h人數(shù)平均車(chē)速不超過(guò)
100km/h人數(shù)
合計(jì)
男性駕駛員人數(shù)401555
女性駕駛員人數(shù)202545
合計(jì)6040100
(Ⅱ)在被調(diào)查的駕駛員中,按分層抽樣的方法從平均車(chē)速超過(guò)100km/h的人中抽取6人,再?gòu)倪@6人中采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取2人,求這2人恰好為1名男生1名女生的概率.
參考公式與數(shù)據(jù):Χ2=$\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d
P(Χ2≥k00.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001
k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

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