Question

14．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=3，點E是PB的中點．
（Ⅰ） 求證：AE⊥平面PBC；
（Ⅱ） 求三棱錐A-CDE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB．又PA=AB，從而AE⊥PB．由三線面垂直的判定證明BC⊥平面PAB，可得AE⊥BC由此能證明AE⊥平面PBC．
（Ⅱ）利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐A-CDE的體積．

解答 證明：（Ⅰ）$\left.\begin{array}{l}PA=AB\\ E為PB中點\end{array}\right\}⇒AE⊥PB$，
$\left.\begin{array}{l}\left.\begin{array}{l}PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BC\\ 矩形ABCD中AB⊥BC\end{array}\right\}⇒BC⊥平面PAB\\ AE?平面PAB\end{array}\right\}⇒AE⊥BC$，
∵PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC…（6分）
解：（Ⅱ）${V_{A-CDE}}={V_{E-ACD}}=\frac{1}{2}{V_{P-ACD}}$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×{S_{△ACD}}×PA$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AD•CD•PA$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×2×2=1$．…（12分）

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的證明，考查體積的計算，考查了空間想象能力和推理論證能力，解題時要認(rèn)真審題，屬于中檔題．