14.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,AD=3,點(diǎn)E是PB的中點(diǎn).
(Ⅰ) 求證:AE⊥平面PBC;
(Ⅱ) 求三棱錐A-CDE的體積.

分析 (Ⅰ)由PA⊥底面ABCD,得PA⊥AB.又PA=AB,從而AE⊥PB.由三線面垂直的判定證明BC⊥平面PAB,可得AE⊥BC由此能證明AE⊥平面PBC.
(Ⅱ)利用等體積轉(zhuǎn)換,即可求三棱錐A-CDE的體積.

解答 證明:(Ⅰ)$\left.\begin{array}{l}PA=AB\\ E為PB中點(diǎn)\end{array}\right\}⇒AE⊥PB$,
$\left.\begin{array}{l}\left.\begin{array}{l}PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BC\\ 矩形ABCD中AB⊥BC\end{array}\right\}⇒BC⊥平面PAB\\ AE?平面PAB\end{array}\right\}⇒AE⊥BC$,
∵PB∩BC=B,
∴AE⊥平面PBC…(6分)
解:(Ⅱ)${V_{A-CDE}}={V_{E-ACD}}=\frac{1}{2}{V_{P-ACD}}$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×{S_{△ACD}}×PA$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AD•CD•PA$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×2×2=1$.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的證明,考查體積的計(jì)算,考查了空間想象能力和推理論證能力,解題時(shí)要認(rèn)真審題,屬于中檔題.

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A.3B.4C.5D.6

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(1)當(dāng)P為AD1中點(diǎn)時(shí),求證:PD⊥平面ABC1D1
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6.如圖,四邊形ABCD為菱形,ACFE為平行四邊形,且平面ACFE⊥平面ABCD,設(shè)BD與AC相交于點(diǎn)G,H為FG的中點(diǎn).
(1)證明:BD⊥CH;
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