Question

19．設(shè)x₁，x₂，…，x₅的實數(shù)，求具有下述性質(zhì)的最小正整數(shù)n：如果n個不同的、形如x_p+x_q+x_r（1≤p＜q＜r≤5）的和都等于0，則x₁=x₂=…=x₅=0．

Answer 1

分析 首先證明n≥7，取x₁=2，x₂=x₃=x₄=x₅=-1，則6個形如x₁+x_i+x_j（2≤i＜j≤5）的和都等于0，因此n≥7，
再設(shè)存在個不同的形如x_p+x_q+x_r（1≤p＜q＜r≤5）的和都等于0，問題得以解決．

解答 解：首先證明n≥7，取x₁=2，x₂=x₃=x₄=x₅=-1，則6個形如x₁+x_i+x_j（2≤i＜j≤5）的和都等于0，因此n≥7，
設(shè)存在個不同的形如x_p+x_q+x_r（1≤p＜q＜r≤5）的和都等于0，由于$\frac{7×3}{5}＞4$，故存在一個x_i，它在這7個和式中至少出現(xiàn)5次．
不失一般性，假定i=1．
由于$C_4^2=6$，于是在形如x₁+x_p+x_q（2≤p＜q≤5）的和式中，至多一個不為0，
假定在這個和式中，p=2，q=3，于是x₁+x₂+x₄=0，x₁+x₂+x₅=0，x₁+x₃+x₄=0，x₁+x₃+x₅=0，x₁+x₄+x₅=0，
由此易得${x_2}={x_3}={x_4}={x_5}=-\frac{x_1}{2}$．
由于形如（x₁，x_p，x_q）（2≤p＜q≤5）的三元組共6個，而7個和式等于0，
所以，一定存在i，j，k≥2滿足x_i+x_j+x_k=0，因此x_i=x_j=x_k=0，即所有5個數(shù)都是0綜上，n_min=7

點評 本題考查了數(shù)列以及實數(shù)的特征，關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)列成立的條件，屬于難題．