Question

14．下列函數(shù)：
（1）y=sin³x+3sinx；
（2）y=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$-$\frac{1}{2}$；
（3）y=lg$\frac{1-x}{1+x}$；
（4）y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1，x≤0}\\{-x-1，x＜0}\end{array}\right.$；
其中是奇函數(shù)且在（0，1）上是減函數(shù)的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1）容易判斷該函數(shù)在（0，1）上為增函數(shù)，不滿足（0，1）上為減函數(shù)；
（2）通分得出$y=\frac{1-{e}^{x}}{2（{e}^{x}+1）}$，從而判斷出該函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=e^x的單調(diào)性及減函數(shù)的定義即可判斷該函數(shù)在（0，1）上為減函數(shù)，從而該函數(shù)滿足條件；
（3）容易判斷該函數(shù)為奇函數(shù)，分離常數(shù)得到$y=lg（-1+\frac{2}{1+x}）$，這樣根據(jù)復(fù)合函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出該函數(shù)在（0，1）上的單調(diào)性；
（4）可以說(shuō)明該函數(shù)不是奇函數(shù)，這樣便可最后得出滿足是奇函數(shù)且在（0，1）上是減函數(shù)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）y=sinx和y=sin³x在（0，1）上都是增函數(shù)；
∴y=sin³x+sinx在（0，1）上是增函數(shù)；
（2）$y=\frac{1}{{e}^{x}+1}-\frac{1}{2}=\frac{1-{e}^{x}}{2（{e}^{x}+1）}$，$\frac{1-{e}^{-x}}{2（{e}^{-x}+1）}=\frac{{e}^{x}-1}{2（{e}^{x}+1）}=-\frac{1-{e}^{x}}{2（{e}^{x}+1）}$；
∴該函數(shù)為奇函數(shù)；
y=e^x在（0，1）上為增函數(shù)；
∴$y=\frac{1}{{e}^{x}+1}-\frac{1}{2}$在（0，1）上為減函數(shù)；
（3）解$\frac{1-x}{1+x}＞0$得，-1＜x＜1；
且$lg\frac{1-（-x）}{1+（-x）}=lg\frac{1+x}{1-x}=-lg\frac{1-x}{1+x}$；
∴$y=lg\frac{1-x}{1+x}$為奇函數(shù)；
設(shè)$t=\frac{1-x}{1+x}=-1+\frac{2}{1+x}$，y=lgt為增函數(shù)，t=$-1+\frac{2}{1+x}$在（0，1）上為減函數(shù)；
∴$y=lg\frac{1-x}{1+x}$在（0，1）上為減函數(shù)；
（4）根據(jù)解析式知，x=0時(shí)，y=1≠0；
∴該函數(shù)不是奇函數(shù)；
∴是奇函數(shù)且在（0，1）上是減函數(shù)的個(gè)數(shù)為2．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義及判斷方法和過(guò)程，奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時(shí)，原點(diǎn)處的函數(shù)值為0，正弦函數(shù)、反比例函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，分離常數(shù)法的運(yùn)用，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．