Question

4．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow$，設(shè)P為△ABC內(nèi)部及邊界上任意一點，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$，則λμ的最大值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 可作出圖形，過點P作BC的平行線，并分別交AB，AC于M，N，可設(shè)$\overrightarrow{NP}=t\overrightarrow{NM}$，0≤t≤1，從而可以得到$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AM}+（1-t）\overrightarrow{AN}$，而可設(shè)$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$，從而$\overrightarrow{AN}=m\overrightarrow{AC}$，0≤m≤1，這樣即可得出$\overrightarrow{AP}=2tm\overrightarrow{a}+3（1-t）m\overrightarrow$，從而得到$\left\{\begin{array}{l}{λ=2tm}\\{μ=3（1-t）m}\end{array}\right.$，從而有λ≥0，μ≥0，3λ+2μ=6≤6，由基本不等式即可得到$2\sqrt{6λμ}≤6$，從而便可得出λμ的最大值．

解答 解：如圖，過點P作BC的平行線交AB、AC于點M、N；
設(shè)$\overrightarrow{NP}=t\overrightarrow{NM}$，則：$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AM}+（1-t）\overrightarrow{AN}$，0≤t≤1；
設(shè)$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$，則$\overrightarrow{AN}=m\overrightarrow{AC}$，0≤m≤1；
∴$\overrightarrow{AP}=tm\overrightarrow{AB}+（1-t）m\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{AP}=2tm\overrightarrow{a}+3（1-t）m\overrightarrow$；
又$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow$；
∴λ=2tm，μ=3（1-t）m；
∴λ≥0，μ≥0，3λ+2μ=6m≤6；
∴由$3λ+2μ≥2\sqrt{6λμ}$得，$2\sqrt{6λμ}≤6$；
∴$λμ≤\frac{3}{2}$；
∴λμ的最大值為$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 考查向量數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，平行線分線段成比例定理，以及平面向量基本定理，基本不等式的運用．