Question

已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程是：（是參數(shù)).

（1）將曲線和曲線的方程轉(zhuǎn)化為普通方程；

（2）若曲線與曲線相交于兩點(diǎn)，求證；

（3）設(shè)直線交于兩點(diǎn)，且（且為常數(shù)），過弦的中點(diǎn)作平行于軸的直線交曲線于點(diǎn)，求證：的面積是定值．

 

Answer 1

（1）；；（2）證明詳見解析；（3）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為，后由極坐標(biāo)與普通方程轉(zhuǎn)化的關(guān)系式得出；由消去參數(shù)即可得到；（2）聯(lián)立方程消去得到，設(shè)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，進(jìn)而得到，再檢驗(yàn)即可證明；（3）聯(lián)立方程，消得，進(jìn)而得到，由得出，進(jìn)而確定的坐標(biāo)，最后計(jì)算可得結(jié)論.

（1）由極坐標(biāo)方程可得

而，所以即

由消去參數(shù)得到

（2）設(shè)，聯(lián)立方程并消元得：

，

（3），消得，

由（且為常數(shù)），得

，又可得中點(diǎn)的坐標(biāo)為

所以點(diǎn)，，面積是定值．

考點(diǎn)：1.極坐標(biāo)；2.參數(shù)方程；3.直線與拋物線的位置關(guān)系；4.三角形的面積計(jì)算公式.