Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=a_n²-2na_n+2，n∈N^*．
（Ⅰ）求出a₂，a₃，a₄的值，并猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式（不需證明）；
（Ⅱ）記S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，試求使得2ⁿ＞S_n成立的最小正整數(shù)n，并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a₁=3，a_n+1=a_n²-2na_n+2，n∈N^*，可求得a₂，a₃，a₄的值，并猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）S_n=

n(3+2n+1)

2

=n²+2n，使得2ⁿ＞S_n成立的最小正整數(shù)n=6，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答： 解�。á瘢゛₂=5，a₃=7，a₄=9，猜想a_n=2n+1．…（4分）
（Ⅱ）S_n=

n(3+2n+1)

2

=n²+2n，…（6分）
使得2ⁿ＞S_n成立的最小正整數(shù)n=6．…（7分）
下面給出證明：n≥6（n∈N^*）時(shí)都有2ⁿ＞n²+2n．
①n=6時(shí)，2⁶＞6²+2×6，即64＞48成立；…（8分）
②假設(shè)n=k（k≥6，k∈N^*）時(shí)，2^k＞k²+2k成立，那么2^k+1=2•2^k＞2（k²+2k）=k²+2k+k²+2k＞k²+2k+3+2k=（k+1）²+2（k+1），即n=k+1時(shí)，不等式成立；
由①、②可得，對(duì)于所有的n≥6（n∈N^*）
都有2ⁿ＞n²+2n成立．                         …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查遞推數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法，考查運(yùn)算、猜想及推理論證的能力，屬于中檔題．