Question

9．已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=$\frac{x-a}{lnx}$．
（1）當(dāng)a=0時，
①求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
②若方程f（x）=k有兩個不同的根，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若f（x）≥$\sqrt{x}$恒成立，求實數(shù)a的取值．

Answer 1

分析 （1）①先求出函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可求出單調(diào)區(qū)間，②根函數(shù)單調(diào)性和最值分類討論即可求出k的范圍；
（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可求出a的值．

解答 解：（1）①當(dāng)a=0時，f（x）=$\frac{x}{lnx}$，其定義域為（0，1）∪（1，+∞）
∴f′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
當(dāng)f′（x）＞0時，解得x＞e，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時，解得0＜x＜1或1＜x＜e，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）在（0，1），（1，e）單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
②當(dāng)x＞1時，由①知，f（x）_min=f（e）=$\frac{e}{lne}$=e，
∵方程f（x）=k有兩個不同的根，
∴k＞e，
當(dāng)0＜x＜1時，函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，此時方程f（x）=k不可能有兩個不同的根，
綜上所述k的取值范圍為（e，+∞）；
（2）∵f（x）≥$\sqrt{x}$恒成立，
∴f（x）=$\frac{x-a}{lnx}$≥$\sqrt{x}$恒成立，
當(dāng)0＜x＜1時，a≥x-$\sqrt{x}$lnx，
令$\sqrt{x}$=t，則0＜t＜1，
∴a≥t²-2tlnt
設(shè)g（t）=t²-2tlnt，
∴g′（t）=2t-2-2lnt，
令h（t）=2t-2-2lnt，
∴h′（t）=2（1-$\frac{1}{t}$）＜0，
∴h（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴h（t）_min＞h（1）=0，
∴g′（t）＞0，在（0，1）上恒成立，
∴g（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴g（t）＜g（1）=1，
∴a≥1，
當(dāng)x＞1時，a≤x-$\sqrt{x}$lnx，
令$\sqrt{x}$=t，則t＞1，
∴a≤t²-2tlnt，
同理g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（t）＞g（1）=1，
∴a≤1，
綜上所述a=1．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值得關(guān)系以及參數(shù)的取值范圍，恒成立的問題，考查了轉(zhuǎn)換能力和運算能力，分析解決問題的能力，屬于難題．