Question

4．如圖，AB是圓柱OO₁的一條母線，已知BC過底面圓的圓心O，D是圓O上不與點(diǎn)B、C重合的任意一點(diǎn)，AB=5，BC=5，CD=3．
（1）求直線AC與平面ABD所成角的大��；
（2）求點(diǎn)B到平面ACD的距離；
（3）將四面體ABCD繞母線AB旋轉(zhuǎn)一周，求由△ACD旋轉(zhuǎn)而成的封閉幾何體的體積．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥CD，BD⊥CD得出CD⊥平面ABD，故而∠CAD即為所求角，利用勾股定理得出AC，即可得出sin∠CAD；
（2）過B作BM⊥AD，垂足為M，通過證明平面ABD⊥平面ACD得出BM⊥平面ACD，利用等面積法求出BM；
（3）△ACD繞AB旋轉(zhuǎn)而成的封閉幾何體為大圓錐中挖去一個(gè)小圓錐，使用作差法求出體積．

解答 解：（1）∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD，
∵BC是圓O的直徑，
∴BD⊥CD，
又BD?平面ABD，AB?平面ABD，AB∩BDE=B，
∴CD⊥平面ABD．
∴∠CAD是AC與平面ABD所成的角．
∵AB=BC=5，∴AC=5$\sqrt{2}$，
∴sin∠CAD=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3\sqrt{3}}{10}$．
∴直線AC與平面ABD所成角的大小為$arcsin\frac{{3\sqrt{2}}}{10}$．
（2）過B作BM⊥AD，垂足為M，
由（1）得CD⊥平面ABD，CD?平面ACD，
∴平面ABD⊥平面ACD，
又平面ABD∩平面ACD=AD，BM?平面ABD，BM⊥AD，
∴BM⊥平面ACD．
∵BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=4，∴AD=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{41}$．
∴BM=$\frac{AB•BD}{AD}$=$\frac{20\sqrt{41}}{41}$．即B到平面ACD的距離為$\frac{{20\sqrt{41}}}{41}$．
（3）線段AC繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以BC為底面半徑，以AB為高的圓錐，
線段AD繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以BD為底面半徑，以AB為高的圓錐，
∴△ACD繞AB旋轉(zhuǎn)一周而成的封閉幾何體的體積V=$\frac{1}{3}πB{C}^{2}•AB$-$\frac{1}{3}πB{D}^{2}•AB$=15π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，空間角的計(jì)算，旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算，屬于中檔題．