【題目】( 2013湖南)某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形頂點)處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經驗,一株該種作物的年收獲Y(單位:kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關系如下表所示:

X

1

2

3

4

Y

51

48

45

42

這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米.
(1)從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物,求它們恰 好“相近”的概率;
(2)在所種作物中隨機選取一株,求它的年收獲量的分布列與數(shù)學期望.

【答案】
(1)解:所種作物總株數(shù)N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地塊內部的作物株數(shù)為3,邊界上的作物株數(shù)為12,從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株的不同結果有 =36種,選取的兩株作物恰好“相近”的不同結果有3+3+2=8,∴從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物,求它們恰好“相近”的概率為 = ;
(2)解:先求從所種作物中隨機選取一株作物的年收獲量為Y的分布列

∵P(Y=51)=P(X=1),P(48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4)

∴只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可

記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù)(k=1,2,3,4),則n1=2,n2=4,n3=6,n4=3

由P(X=k)= 得P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= = ,P(X=4)= =

∴所求的分布列為

Y

51

48

45

42

P

數(shù)學期望為E(Y)=51× +48× +45× +42× =46


【解析】(1)確定三角形地塊的內部和邊界上的作物株數(shù),分別求出基本事件的個數(shù),即可求它們恰好“相近”的概率;(2)確定變量的取值,求出相應的概率,從而可得年收獲量的分布列與數(shù)學期望.
【考點精析】利用離散型隨機變量及其分布列對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知在射擊、產品檢驗等例子中,對于隨機變量X可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.離散型隨機變量的分布列:一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一個值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布,簡稱分布列.

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第二階梯電量

第三階梯電量

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