Question

20．已知函數(shù)f（x）=2lnx+$\frac{1}{2}$（x-a）²（a為常數(shù)），當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極值．
（1）求a的值，并寫(xiě)出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=b在（0，3]上有且只有一解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)f′（1）=0，求出a的值，從而求出函數(shù)的遞增區(qū)間；
（2）求出函數(shù)f（x）在（0，3]的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值，畫(huà)出函數(shù)的圖象，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)圖象即可讀出．

解答 解：（1）∵f（x）=2lnx+$\frac{1}{2}$（x-a）²（a為常數(shù)），
∴f′（x）=$\frac{2}{x}$+（x-a），∴f′（1）=2+1-a=0，解得：a=3，
∴f（x）=2lnx+$\frac{1}{2}$（x-3）²，
f′（x）=$\frac{2}{x}$+（x-3）＞0，解得：x＞2或0＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）和（2，+∞）單調(diào)遞增；
（2）由（1）得：f（x）在（0，1）遞增，在（1，2）遞減，在（2，3]遞增，
而f（1）=2，f（2）=2ln2+$\frac{1}{2}$，f（3）=2ln3，
畫(huà)出函數(shù)f（x）在（0，3]上的圖象，如圖示：
，
若關(guān)于x的方程f（x）=b在（0，3]上有且只有一解，
即函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=b在（0，3]有且只有1個(gè)交點(diǎn)，
∴2＜b≤2ln3，或b＜2ln2+$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．