Question

12．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上
（1）求證：AC⊥平面PDB
（2）當(dāng)PD=$\sqrt{2}$AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意證明AC⊥BD，PD⊥AC，可得AC⊥平面PDB；
（2）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，根據(jù)線面所成角的定義可知∠AEO為AE與平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，
又BD∩PD=D∴AC⊥平面PDB，（3分）
（2）解：設(shè)AC∩BD=O，連接OE，由（1）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO為AE與平面PDB所的角，（5分）
又O，E分別為DB、PB的中點(diǎn)，
∴OE∥PD，OE=$\frac{1}{2}$PD，
在Rt△AOE中，OE=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=AO，
∴∠AEO=45°，（7分）
即AE與平面PDB所成的角的大小為45°．（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．