Question

20．若函數(shù)f（x）=ax²+2x-$\frac{4}{3}$lnx在x=1處取得極值．則函數(shù)f（x）的極大值為$\frac{8}{3}$-$\frac{4}{3}$ln2．

Answer 1

分析 先根據(jù)f′（1）=0，求出a的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的極大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=ax²+2x-$\frac{4}{3}$lnx在x=1處取得極值，（x＞0）
則f′（x）=2ax+2-$\frac{4}{3x}$，f′（1）=2a+2-$\frac{4}{3}$=0，解得：a=-$\frac{1}{3}$，
∴f（x）=-$\frac{1}{3}$x²+2x-$\frac{4}{3}$lnx，f′（x）=-$\frac{2}{3}$x+2-$\frac{4}{3x}$=$\frac{-2（x-1）（x-2）}{3x}$，
令f′（x）＞0，解得：1＜x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2或0＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（0，1），（2，+∞）遞減，在（1，2）遞增，
∴f（x）_極大值=f（2）=$\frac{8}{3}$-$\frac{4}{3}$ln 2，
故答案為：$\frac{8}{3}$-$\frac{4}{3}$ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．