Question

10．已知正四面體ABCD的棱長為1，求：
（1）該四面體的內(nèi)切球的表面積；
（2）與該四面體各條棱均相切的球的體積；
（3）該四面體的外接球上AB兩點間的球面距離．

Answer 1

分析 （1）作出正四面體的圖形，確定球的球心位置為O，說明OE是內(nèi)切球的半徑，運用勾股定理計算，即可得到球的體積．
（2）將正四面體ABCD，補成正方體，則正四面體ABCD的棱為正方體的面上對角線，根據(jù)球O與正四面體的各棱都相切，且球心在正四面體的內(nèi)部，可得球O是正方體的內(nèi)切球，從而可求球O的表面積．
（3）由題意求出外接球的半徑，然后求出∠AOB的大小，即可求解其外接球球面上A、B兩點間的球面距離．

解答 解：（1）如圖O為正四面體ABCD的內(nèi)切球的球心，正四面體的棱長為1，
所以O(shè)E為內(nèi)切球的半徑，設(shè)OA=OB=R，
在等邊三角形BCD中，BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
AE=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
由OB²=OE²+BE²，即有R²=（$\frac{\sqrt{6}}{3}$-R）²+$\frac{1}{3}$
解得，R=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．OE=AE-R=$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
則其內(nèi)切球的半徑是$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
所以四面體的內(nèi)切球的表面積為$4π•\frac{6}{144}$=$\frac{π}{6}$；
（2）將正四面體ABCD，補成正方體，則正四面體ABCD的棱為正方體的面上對角線
∵正四面體ABCD的棱長為1
∴正方體的棱長為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵球O與正四面體的各棱都相切，且球心在正四面體的內(nèi)部，
∴球O是正方體的內(nèi)切球，其直徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴球O的體積為$\frac{4}{3}π•（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{24}$π；
（3）由（1），正四面體的外接球的半徑為：$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
設(shè)球心為O．
∴cos∠AOB=$\frac{（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}-{1}^{2}}{2×\frac{\sqrt{6}}{4}×\frac{\sqrt{6}}{4}}$=-$\frac{1}{3}$，
∴∠AOB=π-arccos$\frac{1}{3}$，
∴外接球球面上A、B兩點間的球面距離為：$\frac{\sqrt{6}}{4}$（π-arccos$\frac{1}{3}$）．

點評 本題考查正四面體的內(nèi)切球半徑的求法，考查正四面體的外接球的球面距離的求法，解題的關(guān)鍵是將正四面體ABCD，補成正方體，使得球O是正方體的內(nèi)切球．