Question

已知函數(shù)f（x）=x+

m

x

，則f（1）=2．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（1）=2求得m的值，可得函數(shù)的解析式；再根據(jù)函數(shù)的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）由于函數(shù)f（x）=x+

m

x

，則f（1）=2，∴1+m=2，求得 m=1，
故f（x）=x+

1

x

，它的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
再根據(jù)f（-x）=-x+

1

-x

=-（x+

1

x

）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，證明如下：
設(shè)x₂＞x₁＞1，∵f（x₂）-f（x₁）=x₂+

1

x2

-x₁-

1

x1

=（x₂-x₁）+（

1

x2

-

1

x1

）=（x₂-x₁）+

x1-x2

x1•x2

=（x₂-x₁）•（1-

1

x1•x2

），
由題設(shè)x₂＞x₁＞1，可得x₂-x₁＞0，

1

x1•x2

∈（0，1），1-

1

x1•x2

＞0，
∴（x₂-x₁）•（1-

1

x1•x2

）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題主要求函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷和證明，屬于基礎(chǔ)題．