Question

13．在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，DB=DC=4，∠BDC=90°，P在線段BC上，CP=3PB，M，N分別為AD，BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面MNP；
（Ⅱ）若AB=4，求直線MC與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出MN∥AB，MN⊥BC，PN⊥BC，由此能證明BC⊥平面MNP．
（Ⅱ）由AB⊥QD，得QD⊥平面ABC，連接AQ，取AQ的中點(diǎn)E，連接EM，EC，得到∠MCE就是直線MC與平面ABC所成角，由此能求出直線MC與平面ABC所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵M(jìn)N是△ABD的中位線，∴MN∥AB． …（2分）
又AB⊥平面PBC，∴MN⊥平面PBC．∴MN⊥BC．①…（4分）
取BC的中點(diǎn)Q，連接DQ，則DQ⊥BC．
由PN是△BDQ的中位線知PN∥DQ，
∴PN⊥BC．②…（6分）
由①②，得BC⊥平面MNP． …（7分）
解：（Ⅱ）∵AB⊥平面PBC，∴AB⊥QD．
而BC⊥QD，∴QD⊥平面ABC． …（9分）
連接AQ，取AQ的中點(diǎn)E，連接EM，EC．在△AQD中，EM是中位線，∴EM∥QD．
∴EM⊥平面ABC． …（10分）
∴∠MCE就是直線MC與平面ABC所成角． …（11分）
連接CN，則$MC=\sqrt{M{N^2}+C{N^2}}=2\sqrt{6}$，$EM=\frac{1}{2}QD=\sqrt{2}$，
在Rt△MCE中，$sin∠MCE=\frac{ME}{MC}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，
∴直線MC與平面ABC所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$． …（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查線面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．