Question

1．如圖，已知長方形ABCD中，AD=$\frac{1}{2}$AB=a，M為CD的中點．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，點O是線段AM的中點．
（1）求證：AD⊥BM；
（2）若三棱錐C-BMD的高為2，求a的值和△CDM的面積．

Answer 1

分析 （1）根據線面垂直的性質即可證明AD⊥BM；
（2）取AM的中點O，連接DO，則DO⊥AM，可得DO⊥平面ADM，即可求a的值和△CDM的面積．

解答 （1）證明：∵矩形ABCD中，AB=2a，AD=a，M為DC的中點，∴AM=BM=$\sqrt{2}$a，
∴AM²+BM²=AB²，∴AM⊥BM．
再由平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，∴BM⊥平面ADM，
結合AD?平面ADM，可得AD⊥BM．
（2）解：取AM的中點O，連接DO，則DO⊥AM，
由平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，∴DO⊥平面ADM，
∴DO=2，∴a=2$\sqrt{2}$．
∵DO=2，O到直線CM的距離為$\sqrt{2}$，
∴D到直線CM的距離為$\sqrt{4+2}$=$\sqrt{6}$，
∴△CDM的面積S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{6}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的性質，考查線面垂直，考查學生的計算能力，屬于中檔題．