Question

5．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD=3BC．過A、C、D三點(diǎn)的平面記為a，BB₁與a的交點(diǎn)為Q．則以下四個(gè)結(jié)論：①Q(mào)C∥A₁D；②B₁Q=2QB；③直線A₁B與直線CD相交；④四棱柱被平面a分成的上下兩部分體積相等．其中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 利用平面的基本性質(zhì)，找出A₁Q與AB兩條直線的交點(diǎn)，利用已知條件的數(shù)據(jù)關(guān)系，即可進(jìn)行判斷．

解答 解：在底面ABCD中，∵四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD=3BC，
延長(zhǎng)DC與AB相交于P，則P∈DC，連結(jié)A₁P交BB₁于Q，故直線A₁Q與直線CD相交，③不正確
∵DC?平面α，
∴P∈α，
∵AD∥BC，∴QC∥A₁D，①正確；
∵AD=3BC，
∴BC：AD=PB：AP=1：3，
∵A₁A∥BQ
∴△A₁AP∽△BQP，
∴$\frac{BQ}{A{A}_{1}}=\frac{BP}{AP}=\frac{1}{3}$，
又AA₁=BB₁
∴B₁Q=2QB，②正確．
設(shè)BC=a，AA₁=h，AD，BCd的距離為b，則四棱柱的體積為$\frac{1}{2}×（a+3a）×b×h$=2abh，
${V}_{{A}_{1}-ABCD}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（a+3a）×b×h$=$\frac{2}{3}$abh，故④不正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間兩點(diǎn)距離的求法，平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．