Question

7．已知函數(shù)f（x）=2x³+ax²+bx+3在x=-1和x=2處都取得極值．
（1）求f（x）的表達(dá)式和極值；
（2）若f（x）=m有三個(gè)根，求m的取值范圍；
（3）若f（x）在區(qū)間[m，m+4]上是單調(diào)函數(shù)，求m的范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的值為0，列出方程組，求出a，b，代入f（x）和f′（x）；令f′（x）＞0求出x的范圍即為遞增區(qū)間，令f′（x）＜0求出x的范圍為遞減區(qū)間，并利用極值的定義求出極值．
（2）由（1）知，f（x）=m有三個(gè)根，則-17＜m＜10；
（3）根據(jù)題意，令[m，m+4]在（-∞，-1）內(nèi)或在（2，+∞）內(nèi)或在（-1，2）內(nèi)，列出不等式組，求出m的范圍．

解答 解：（1）∵f′（x）=6x²+2ax+b
由已知有f（-1）=0，f'（2）=0，即$\left\{\begin{array}{l}{6-2a+b=0}\\{24+4a+b=0}\end{array}\right.$…（3分）
解得a=-3，b=-12，
∴f（x）=2x³+x²-12x+3，
f′（x）=6x²-6x-12=6（x-2）（x+1）
故f（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）上為增函數(shù)，在（-1，2）為減函數(shù)
故f（x）在x=-1取極大值，f（-1）=10，x=22上取極小值f（2）=-17；
（2）由（1）知，f（x）=m有三個(gè)根，則-17＜m＜10；
（3）由（1）知，f（x）在區(qū)間[m，m+4]上是單調(diào)函數(shù)，需m+4≤-1或$\left\{\begin{array}{l}{m≥-1}\\{m+4≤2}\end{array}\right.$或m≥2
所以m≤-5或m≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0、考查利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性、考查極值的求法、考查函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間的子集上都是單調(diào)的．