Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*）．
（Ⅰ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an

+

1

2

，求證：{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅲ）數(shù)列{c_n}滿足c_n=（3_n-1）•

n

2n

•a_n，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．是否存在正實(shí)數(shù)λ，使得不等式λ＜T_n+

n

2n-1

對(duì)一切n∈N^*恒成立，若存在，求λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性,等比關(guān)系的確定

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）由數(shù)列遞推式求出b₁，然后結(jié)合a_n+1=

an

an+3

，b_n=

1

an

+

1

2

直接利用等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明；
（Ⅱ）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式后，結(jié)合b_n=

1

an

+

1

2

求解數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅲ）由錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，代入λ＜T_n+

n

2n-1

后由函數(shù)的單調(diào)性求得正實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答： （Ⅰ）證明：∵a₁=1，a_n+1=

an

an+3

，b_n=

1

an

+

1

2

，
∴b1=

1

a1

+

1

2

=

3

2

，

bn+1

bn

=

1 an+1 + 1 2

1 an + 1 2

=

an+3 an + 1 2

1 an + 1 2

=3．
∴{b_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為3的等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，bn=

3

2

•3n-1=

1

2

•3n．
∴

1

an

+

1

2

=

1

2

•3n，
an=

2

3n-1

；
（Ⅲ）解：c_n=（3ⁿ-1）•

n

2n

•a_n=

n

2n-1

．
∴Tn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

．

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

．
作差得

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

．
∴Tn=4-

n+2

2n-1

．
G（n）=T_n+

n

2n-1

=4-

2

2n-1

單調(diào)遞增（n∈N^*）．
∴當(dāng)n=1時(shí)，G（n）取最小值2．
又λ∈R⁺，
∴λ∈（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．