Question

設(shè)P是直線y=x+4上一點，過點P的橢圓的焦點為F₁（2，0），F(xiàn)₂（-2，0），則當橢圓長軸最短時，橢圓的方程為

x2

10

+

y2

6

=1
．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，依題意可得c的值，進而求得b與a的關(guān)系，將直線方程代入橢圓方程得到一個二次方程．因直線與橢圓有交點，可知△≥0進而求出a的取值范圍，進而求出a的最小值，求出此時的橢圓方程．

解答：解：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1
∵c=2，∴b²=a²-c²=a²-4
將直線方程y=x+4代入橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1
（a²-4）x²+a²（x²+8x+16）=a²（a²-4）
即（2a²-4）x²+8a²x+20a²-a⁴=0
∵直線與橢圓有公共點
∴△=（8a²）²-4（2a²-4）（20a²-a⁴）
=4a²[16a²-（40a²-2a⁴-80-4a²）]
=4a²（2a⁴-28a²+80）
=8a²（a²-10）（a²-4）≥0
∵a²＞c²=4，∴a²≥10，當a²=10時，b²=a²-4=6
∴長軸最短的橢圓方程為

x2

10

+

y2

6

=1
故答案為：

x2

10

+

y2

6

=1

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程及橢圓與直線的問題．用方程解的情況來判斷，從方程角度看，主要是一元二次方程根的判別式△≥0．