已知點P是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的漸近線上一點,F(xiàn)是雙曲線的右焦點,若|PF|的最小值為
1
2
a,則該雙曲線的離心率為( 。
A、
2
B、
3
C、
5
2
D、
5
考點:雙曲線的簡單性質(zhì)
專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:第一步:寫出雙曲線的漸近線方程,并化為一般式;
第二步:根據(jù)點到直線的距離公式及|PF|的最小值列出a,b,c的等量關系,從而得到a,c的齊次關系式;
第三步:由e=
c
a
得雙曲線的離心率.
解答: 解:由雙曲線的方程,得其漸近線方程為y=±
b
a
x,即bx±ay=0,
|PF|的最小值即為焦點F(c,0)到漸近線的距離,
由題意得
|bc|
a2+b2
=
1
2
a,由a2+b2=c2,得a=2b,
∴a2=4b2=4(c2-a2),即5a2=4c2
得雙曲線的離心率e=
c
a
=
5
2

故選C.
點評:本題考查了雙曲線的離心率的求法,關鍵是根據(jù)題設條件得到關于a,c的齊次等式.值得注意的是,隱含條件a2+b2=c2可實現(xiàn)b與a,c之間的轉(zhuǎn)化.
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2
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b
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1
2
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1
2
n-
n+2
2
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2
m
+
9
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