Question

8．若有關(guān)x的方程x²lnx=kx-1有實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，-1]∪[1，+∞）
• B． （-∞，-1]
• C． [1，+∞）
• D． （-∞，-1]∪（1，+∞）

Answer 1

分析 化簡可得k=xlnx+$\frac{1}{x}$，令f（x）=xlnx+$\frac{1}{x}$，從而求導(dǎo)可得f′（x）=lnx+1-$\frac{1}{{x}^{2}}$；從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而求實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：∵x²lnx=kx-1，
∴k=xlnx+$\frac{1}{x}$，
令f（x）=xlnx+$\frac{1}{x}$，則f′（x）=lnx+1-$\frac{1}{{x}^{2}}$；
故當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0；
故f（x）_min=f（1）=1•ln1+1=1，
故實數(shù)k的取值范圍為[1，+∞）；
故選：C．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的最值，同時考查了方程與函數(shù)的關(guān)系應(yīng)用．