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已知橢圓
x2
a12
+
y2
b12
=1（a1＞b1＞0）與雙曲線
x2
a22
+
y2
b22
=1（a2＞0，b2＞0）有公共焦點F1、F2，設P是它們的一個交點
（1）試用b1、b2表示△F1PF2的面積；
（2）當b1+b2=m（m＞0）是常數時，求△F1PF2的面積的最大值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）設∠F1PF2=θ，當PF1+PF2=2a1時，S△F1PF2=b12•
sinθ
1+cosθ
，當PF1-PF2=2a2時，S△F1PF2 =
b22sinθ
1-cosθ
，由此能求出S△F1PF2=b1b2．
（2）當b1+b2=m時，有m=b1+b2≥2
b1b2
，由此能求出面積的最大值是
m2
4
．
解答： 解：（1）設∠F1PF2=θ，當PF1+PF2=2a1時，
F1F22=PF12+PF22-2PF1•PF2cosθ，
即2PF1•PF2cosθ=（PF1+PF2）2-2PF1•PF2-4c2=4a12-2PF1•PF2-4c2，
∴PF1•PF2=
2b12
1+cosθ
，
∴S△F1PF2=
1
2
×PF1•PF2sinθ=b12•
sinθ
1+cosθ
，
當PF1-PF2=2a2時，
F1F22=PF12+PF22-2PF1•PF2cosθ，
即2PF1•PF2cosθ=（PF1-PF2）2+2PF1•PF2-4c2=4a22+2PF1•PF2-4c2，
∴PF1•PF2=
2b22
1-cosθ
，
∴S△F1PF2 =
1
2
×PF1•PF2sinθ=
b22sinθ
1-cosθ
，
（S△F1PF2）2=
b12sinθ
1+cosθ
×
b22sinθ
1-cosθ
=b12•b22，
∴S△F1PF2=b1b2．
（2）當b1+b2=m時，有m=b1+b2≥2
b1b2
，
即有b1b2≤
m2
4
，△F1PF的面積S△F1PF2 ≤
m2
4
．
即面積的最大值是
m2
4
．
點評：本題考查三角形面積的表示和面積最大值的求法，解題時要認真審題，注意雙曲線和橢圓的簡單性質的靈活運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設等差數列{an}的前n項和為Sn，且a1=2，若數列{Sn}也為等差數列，則S2014=（　�。�
A、1007B、2014
C、4028D、0

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科目：高中數學 來源： 題型：

在一個正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為正方形A1B1C1D1的中心，求證AP⊥PB1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于集合Ω={θ1，θ2，…，θn}和常數θ0，定義：μ=
cos2(θ1-θ0)+cos2(θ2-θ0)+…+cos2(θn-θ0)
n
為集合Ω相對θ0的“余弦方差”．
（1）若集合Ω={
π
3
，
π
4
}，θ0=0，求集合Ω相對θ0的“余弦方差”；
（2）若集合Ω={
π
3
，
2π
3
，π}，證明集合Ω相對于任何常數θ0的“余弦方差”是一個常數，并求這個常數；
（3）若集合Ω={
π
4
，α，β}，α∈[0，π），β∈[π，2π），相對于任何常數θ0的“余弦方差”是一個常數，求α，β的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

y=
x+3
2x+3
的對稱中心是什么？畫出其圖象．

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科目：高中數學 來源： 題型：

雙曲線C1的中心在原點，焦點在x軸上，且過點A（
5
，
3
），雙曲線C2中心在原點，焦點在y軸上，且過點B（
10
，
7
）．C1的實軸長等于C2虛軸長，C1的虛軸長等于C2實軸長，求雙曲線C1、C2的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別為l1、l2，經過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1、l2于A、B兩點，已知|
OA
|、|
AB
|、|
OB
|成等差數列，且
BF
與
FA
反向．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若直線AB被雙曲線截得的弦長為
8
3
，求雙曲線方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若直線l：y=x與圓心在第二象限的⊙C相切于原點，且⊙C的半徑為2
2
．
（1）求⊙C的方程；
（2）試問⊙C上是否存在異于原點的點Q，使得點Q到點F（4，0）的距離為4，若存在，請求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=（2sinx，2cosx），
b
=（
3
cosx，cosx），函數f（x）=
a
•
b
+m在區(qū)間[0，
π
2
]上的最大值為2．
（Ⅰ）求常數m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊是a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面積為
3
3
4
，求邊長a．

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