Question

4．如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D是棱BB₁上的點(diǎn)，且BD=1，求：
（1）AD與平面BB₁C₁C所成角的余弦值．
（2）點(diǎn)B到平面ADC的距離．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點(diǎn)O，連接OD，則AO⊥平面BB₁C₁C，∠ADO為AD與平面BB₁C₁C所成角；
（2）利用等體積，求點(diǎn)B到平面ADC的距離．

解答 解：（1）取BC的中點(diǎn)O，連接OD，則AO⊥平面BB₁C₁C，
∴∠ADO為AD與平面BB₁C₁C所成角，
∵AB=BD=1，
∴AD=$\sqrt{2}$，AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin∠ADO=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴cos∠ADO=$\frac{\sqrt{10}}{4}$；
（2）△ACD中，AD=CD=$\sqrt{2}$，AC=1，∴S_△ACD=$\frac{1}{2}•1•\sqrt{2-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
設(shè)點(diǎn)B到平面ADC的距離為h，則$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{7}}{4}h=\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{4}•1$，
∴h=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評 考查點(diǎn)B到平面ADC的距離考查直線和平面所成的角，關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，把空間角轉(zhuǎn)化為平面角求解，屬基礎(chǔ)題．