Question

已知函數(shù)f（x）=4x+1，g（x）=2x，x∈R，數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足條件：a₁=1，a_n+1=g（a_n）+1（n∈N^*），b_n=

1

[ 1 2 f(n)+ 1 2 ][g(n)+3]

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，并求使得T_n＞

m

150

對(duì)任意n∈N^*都成立的最大正整數(shù)m．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：計(jì)算題,綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意知，a_n+1=2a_n+1，易證數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，從而可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）依題意，可求得b_n=

1

(2n+1)(2n+3)

，利用裂項(xiàng)法得b_n=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），于是可求得T_n=

n

6n+9

，進(jìn)一步分析知，T_n＜T_n+1，n∈N^*，當(dāng)n=1時(shí)，T_n取得最小值

1

15

．解不等式

1

15

＞

m

150

，m∈N^*，即可求得m的值．

解答： 解：（1）由題意a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）．
∵a₁=1，
∴數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2×2^n-1，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）∵b_n=

1

[ 1 2 f(n)+ 1 2 ][g(n)+3]

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
∴T_n=

1

2

[（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+3

）]
=

1

2

（

1

3

-

1

2n+3

）
=

n

3×(2n+3)

=

n

6n+9

．
∵

Tn+1

Tn

=

n+1

6n+15

•

6n+9

n

=

6n2+15n+9

6n2+15n

＞1，
∴T_n＜T_n+1，n∈N^*．
∴當(dāng)n=1時(shí)，T_n取得最小值

1

15

．
由題意得

1

15

＞

m

150

，
∴m＜10．
∵m∈N₊，
∴m=9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比關(guān)系的確定與裂項(xiàng)法求和，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值及恒成立問(wèn)題，考查化歸思想與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．