Question

3．已知函數f（x）=$\frac{a-x}{1+x}$，g（x）=x．
（1）若存在x∈[0，+∞），使得f（x）≥g（x）成立，求實數a的取值范圍；
（2）在a＞0的條件下，若函數h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間[0，+∞）上有最小值為2，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡可得a≥x²+2x=（x+1）²-1，判斷函數y=（x+1）²-1的單調性及最值，從而求得；
（Ⅱ）由已知化簡h（x）=f（x）+g（x）=$\frac{a-x}{1+x}+x=\frac{a+1}{1+x}-1+x=\frac{a+1}{1+x}+（x+1）-2$，從而結合基本不等式可得2$\sqrt{a+1}$-2=2，從而解得．

解答 解：（Ⅰ）由x∈[0，+∞）及f（x）≥g（x），
即$\frac{a-x}{1+x}≥x$得，
a≥x²+2x=（x+1）²-1，
∵函數y=（x+1）²-1在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增，
∴y∈[0，+∞）．
若存在x∈[0，+∞），使得f（x）≥g（x）成立，
即存在x∈[0，+∞）使得a≥y成立，
從而a≥0，
即a的取值范圍是[0，+∞）．
（Ⅱ）由已知得，
h（x）=f（x）+g（x）
=$\frac{a-x}{1+x}+x=\frac{a+1}{1+x}-1+x=\frac{a+1}{1+x}+（x+1）-2$，
∵a＞0，∴a+1＞0，又x∈[0，+∞），
∴x+1＞0，
∴$h（x）=\frac{a+1}{1+x}+（x+1）-2≥2\sqrt{\frac{a+1}{1+x}•（x+1）}-2=2\sqrt{a+1}-2$．
當且僅當$\frac{a+1}{1+x}=x+1$，即$x=\sqrt{a+1}-1$時取等號．
又已知函數h（x）的最小值為2．
∴2$\sqrt{a+1}$-2=2，
即a=3．

點評 本題考查了函數的性質的判斷與應用，同時考查了基本不等式的應用．