Question

13．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4（-1≤x＜0）}\\{sinπx，（x＞0）}\end{array}\right.$，且f（x）-ax＞-1對于定義域內的任意的x恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A． [-6，0）
• B． [-6，0]
• C． （-1，0]
• D． [-1，0]

Answer 1

分析 利用參數分離法結合分段函數的性質進行求解即可．

解答 解：由f（x）-ax＞-1得f（x）+1＞ax．
當x＞0時，不等式等價為sinπx+1＞ax，
∵當x＞0時，sinπx+1≥0，
而y=ax過原點，∴此時則a＜0，
當-1≤x＜0時，不等式的等價為x²+5＞ax．
即$\frac{{x}^{2}+5}{x}$＜a，
即x+$\frac{5}{x}$＜a恒成立，
設g（x）=x+$\frac{5}{x}$，則g′（x）=1-$\frac{5}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-5}{{x}^{2}}$，
當-1≤x＜0時，g′（x）＜0，即函數g（x）為減函數，
則g（x）≤g（-1）=-1-5=-6，
即a≥-6，
綜上-6≤a＜0，
故選：A．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數分離法結合分類討論轉化為求函數的最值是解決本題的關鍵．綜合性較強．