Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4（-1≤x＜0）}\\{sinπx，（x＞0）}\end{array}\right.$，且f（x）-ax＞-1對(duì)于定義域內(nèi)的任意的x恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A． [-6，0）
• B． [-6，0]
• C． （-1，0]
• D． [-1，0]

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：由f（x）-ax＞-1得f（x）+1＞ax．
當(dāng)x＞0時(shí)，不等式等價(jià)為sinπx+1＞ax，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，sinπx+1≥0，
而y=ax過原點(diǎn)，∴此時(shí)則a＜0，
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，不等式的等價(jià)為x²+5＞ax．
即$\frac{{x}^{2}+5}{x}$＜a，
即x+$\frac{5}{x}$＜a恒成立，
設(shè)g（x）=x+$\frac{5}{x}$，則g′（x）=1-$\frac{5}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-5}{{x}^{2}}$，
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，g′（x）＜0，即函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
則g（x）≤g（-1）=-1-5=-6，
即a≥-6，
綜上-6≤a＜0，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法結(jié)合分類討論轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．