Question

3．已知函數(shù)f₁（x）=x，f₂（x）=e^x，f₃（x）=lnx．
（1）設(shè)函數(shù)h（x）=mf₁（x）-f₃（x），若h（x）在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）求證：?x∈（0，+∞），f₂（x）＞f₃（x）+2f₁'（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$m≥\frac{1}{x}$在$（{\frac{1}{2}，2}]$上恒成立，求出m的范圍即可；
（2）設(shè)$g（x）={f_2}（x）-{f_3}（x）-2{f_1}'（x）={e^x}-lnx-2$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出g（x）的最小值，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意得h（x）=mx-lnx，
∴$h'（x）=m-\frac{1}{x}$，∵$\frac{1}{2}＜x≤2$，∴$\frac{1}{2}≤\frac{1}{x}＜2$，
若函數(shù)h（x）在區(qū)間$（{\frac{1}{2}，2}]$上單調(diào)遞增，
則h'（x）≥0在$（{\frac{1}{2}，2}]$上恒成立，
即$m≥\frac{1}{x}$在$（{\frac{1}{2}，2}]$上恒成立，
所以m≥2，
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為$（{-∞，\frac{1}{2}}]∪[{2，+∞}）$．
（2）證明：設(shè)$g（x）={f_2}（x）-{f_3}（x）-2{f_1}'（x）={e^x}-lnx-2$，
則$g'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，
設(shè)$φ（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，則$φ'（x）={e^x}+\frac{1}{x^2}＞0$，
∴$φ（x）={e^x}-\frac{1}{x}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
由$φ（{\frac{1}{2}}）＜0，φ（1）＞0$得，存在唯一${x_0}∈（{\frac{1}{2}，1}）$，使得$φ（{x_0}）={e^{x_0}}-\frac{1}{x_0}=0$，
所以在（0，x₀）上有φ（x）＜φ（x₀）=0，
在（x₀，+∞）上有φ（x）＞φ（x₀）=0，
所以g（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
$g{（x）_{min}}=g（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}-2=\frac{1}{x_0}-ln\frac{1}{{{e^{x_0}}}}-2={x_0}+\frac{1}{x_0}-2＞0$，
所以g（x）＞0，?x∈（0，+∞），f₂（x）＞f₃（x）+2f₁'（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．