Question

17．函數(shù)y=$\frac{2sinx}{{1+\frac{1}{x^2}}}（x∈[-\frac{3π}{4}，0）∪（0，\frac{3π}{4}]）$的圖象大致是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 判斷函數(shù)的奇偶性，排除選項，求出函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性排除選項，推出結(jié)果．

解答 解：因為函數(shù)$y=f（x）=\frac{2sinx}{{1+\frac{1}{x^2}}}$可化簡為$f（x）=\frac{{2{x^2}sinx}}{{{x^2}+1}}$可知函數(shù)為奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，可排除答案C；
同時有$y'=f'（x）=\frac{{4xsinx+2{x^4}cosx+2{x^2}cosx}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}$=$\frac{{2x（2sinx+{x^3}cosx+xcosx）}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}$，
故函數(shù)在$x∈（0，\frac{π}{2}）$時f'（x）＞0，則$x∈（0，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞增，排除答案B和D，
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的圖象的判斷與應用，函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查計算能力．