Question

（Ⅰ）設(shè)a＞0，b＞0，求證：

a+b

2

-

ab

≥

a2+b2 2

-

a+b

2

；
（Ⅱ）設(shè)a，b，c∈（0，+∞），求證：三數(shù)a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

中至少有一個(gè)不小于2．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：不等式

分析：（Ⅰ）利用分析法，靈活利用基本不等式的性質(zhì)，即可得證，
（Ⅱ）用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面，即可得出結(jié)論．

解答： 證明：（Ⅰ）證法一：要證：

a+b

2

-

ab

≥

a2+b2 2

-

a+b

2

，
即證：a+b≥

a2+b2 2

+

ab

，
即證：a2+b2+2ab≥

a2+b2

2

+ab+2

ab• a2+b2 2

，
即證：

a2+b2

2

+ab≥2

ab• a2+b2 2

，
由基本不等式，這顯然成立，故原不等式得證．
證法二：要證：

a+b

2

-

ab

≥

a2+b2 2

-

a+b

2

，
即證：

( a-b 2 )2

a+b 2 + ab

≥

( a-b 2 )2

a2+b2 2 + a+b 2

，
由基本不等式

ab

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

，可得上式成立，故原不等式得證．
（Ⅱ）假設(shè)三數(shù)a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

都小于2．
則a+

1

b

+b+

1

c

+c+

1

a

＜6，
∵a、b、c∈R⁺，
∴a+

1

b

+b+

1

c

+c+

1

a

=（a+

1

a

）+（b+

1

b

）+（c+

1

c

）≥2+2+2=6，與假設(shè)相矛盾，
∴三數(shù)a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

中至少有一個(gè)不小于2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了證明問題的方法，分析法和反證法，關(guān)鍵是掌握不等式的基本性質(zhì)，屬于中檔題．