Question

已知函數(shù)f（x）=x³-（a+b）x²+abx，這里0＜a＜b．
（Ⅰ）設(shè)f（x）在x=s與x=t處取得極值，其中s＜t，求證：0＜s＜a＜t＜b；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（s，f（s）），B（t，f（t）），求證：線段AB的中點(diǎn)C在曲線y=f（x）上．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)出導(dǎo)數(shù)為0，知，極值點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)等于零的根，所以先求導(dǎo)，再解導(dǎo)數(shù)等于零，兩根為s，t，再判斷x=a，b時(shí)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，比較大小即可．
（Ⅱ）求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，再代入y=f（x），判斷是否成立即可．

解答： 證明：（Ⅰ）∵f（x）=x³-（a+b）x²+abx，
∴f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab
則3x²-2（a+b）x+ab=0的兩根是s，t
∵f′（0）=ab＞0
f′（a）=a²-ab=a（a-b）＜0
f′（b）=b（b-a）＞0
∴0＜s＜a＜t＜b．
（Ⅱ）設(shè)AB中點(diǎn)C（x₀，y₀），
則x0=

s+t

2

，y0=

f(s)+f(t)

2

，
故有s+t=

2(a+b)

3

，st=

ab

3

，
∴x0=

a+b

3

，
f（s）+f（t）=（s³+t³）-（a+b）（s²+t²）+ab（s+t）
=-

4

27

(a+b)3+

2

3

ab(a+b)，
∴y0=-

2

27

(a+b)2+

1

3

ab(a+b)．
代入驗(yàn)算可知C在曲線y=f（x）上．
∴線段AB的中點(diǎn)C在曲線y=f（x）上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查線段的中點(diǎn)到曲線上的證明，解題時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)知識(shí)的合理運(yùn)用，是中檔題．