Question

【題目】定義：若函數(shù)y=f（x）在某一區(qū)間D上任取兩個實(shí)數(shù)x1、x2 ， 且x1≠x2 ， 都有 ，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上具有性質(zhì)L．
（1）寫出一個在其定義域上具有性質(zhì)L的對數(shù)函數(shù)（不要求證明）．
（2）對于函數(shù) ，判斷其在區(qū)間（0，+∞）上是否具有性質(zhì)L？并用所給定義證明你的結(jié)論．
（3）若函數(shù) 在區(qū)間（0，1）上具有性質(zhì)L，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： （或其它底在（0，1）上的對數(shù)函數(shù)）
（2）解：函數(shù) 在區(qū)間（0，+∞）上具有性質(zhì)L．

證明：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2

則 = =

∵x1、x2∈（0，+∞）且x1≠x2，

∴（x1﹣x2）2＞0，2x1x2（x1+x2）＞0

即 ＞0，

∴

所以函數(shù) 在區(qū)間（0，+∞）上具有性質(zhì)L

（3）解：任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2

則 = = =

∵x1、x2∈（0，1）且x1≠x2，

∴（x1﹣x2）2＞0，4x1x2（x1+x2）＞0

要使上式大于零，必須2﹣ax1x2（x1+x2）＞0在x1、x2∈（0，1）上恒成立，

即 ，

∴a≤1，

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，1]

【解析】（1）寫出的函數(shù)是下凹的函數(shù)即可；（2）函數(shù) 在區(qū)間（0，+∞）上具有性質(zhì)L．根據(jù)定義，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2
只需要證明 ＞0即可；（3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2則 ＞0，只需要2﹣ax1x2（x1+x2）＞0在x1、x2∈（0，1）上恒成立，即 ，故可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．