Question

16．已知α，β∈（0，$\frac{π}{4}$），$\frac{tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{1}{4}$，且3sin β=sin（2α+β），則α+β=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由已知可求范圍$\frac{α}{2}$∈（0，$\frac{π}{8}$），利用已知等式即可解得tan$\frac{α}{2}$=$\sqrt{5}$-2，由3sin β=sin（2α+β），利用三角函數(shù)恒等變換的應用可得tan（α+β）=2tanα，利用二倍角公式可求tan（α+β）=1，結合α+β的范圍，利用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 解：∵$\frac{tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{1}{4}$，整理可得：tan²$\frac{α}{2}$+4tan$\frac{α}{2}$-1=0，解得tan$\frac{α}{2}$=-2$±\sqrt{5}$，
∵α∈（0，$\frac{π}{4}$），$\frac{α}{2}$∈（0，$\frac{π}{8}$），
∴tan$\frac{α}{2}$=$\sqrt{5}$-2．
∵3sin β=sin（2α+β），可得：3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，
∴3sin （α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
∴可得：sin （α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，
∴可得：tan（α+β）=2tanα=2tan（2×$\frac{α}{2}$）=2×$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=2×$\frac{2（\sqrt{5}-2）}{1-（\sqrt{5}-2）^{2}}$=1，
∵α，β∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴α+β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴α+β=$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，二倍角公式，正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于基礎題．