Question

5．三棱錐P-ABC是半徑為3的球內(nèi)接正三棱錐，則P-ABC體積的最大值為（　　）

• A． 8$\sqrt{3}$
• B． 24
• C． 16$\sqrt{3}$
• D． 24$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，設(shè)出正三棱錐的高為PO₁=h，然后通過求解直角三角形把三棱錐的底面積用含有h的代數(shù)式表示，得到${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•h=\frac{\sqrt{3}}{4}（6h-{h}^{2}）h$，再由基本不等式求得最值．

解答 解：如圖，
P-ABC是球O的內(nèi)接正三棱錐，設(shè)它的高為PO₁=h，
PO=AO=BO=CO=3，則O₁為正三角形ABC的中心，
球心O在PO₁上，
∴$A{O}_{1}=\frac{2}{3}AB•sin60°=\frac{\sqrt{3}}{3}AB$，即AB=$\sqrt{3}$AO₁，
在Rt△AOO₁中，$A{O}_{1}=\sqrt{A{O}^{2}-O{{O}_{1}}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}-（h-3）^{2}}$=$\sqrt{6h-{h}^{2}}$．
∴AB=$\sqrt{3}A{O}_{1}=\sqrt{3}\sqrt{6h-{h}^{2}}$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}A{B}^{2}sin60°=\frac{\sqrt{3}}{4}（6h-{h}^{2}）$，
${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•h=\frac{\sqrt{3}}{4}（6h-{h}^{2}）h$=$\frac{\sqrt{3}}{8}（12-2h）h•h≤\frac{\sqrt{3}}{8}×[\frac{（12-2h）+h+h}{3}]^{3}=8\sqrt{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)12-2h=h，即h=4時(shí)等號(hào)成立．
∴半徑為3的球的內(nèi)接正三棱錐P-ABC體積的最大值為$8\sqrt{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．