Question

18．已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．且短軸一頂點(diǎn)B橫足$\overrightarrow{B{F}_{1}}$•$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=2．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)F₂的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，則△F₁MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c=1，由$\overrightarrow{B{F}_{1}}$•$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=2，可得2b²-a²=2，又a²-b²=1，由此可求橢圓方程；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，設(shè)△F₁MN的內(nèi)切圓的徑R，則△F₁MN的周長(zhǎng)=4a=8，${S}_{△{F}_{1}MN}$=（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R，因此${S}_{△{F}_{1}MN}$最大，R就最大．設(shè)直線l的方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立，從而可表示△F₁MN的面積，利用換元法，借助于導(dǎo)數(shù)，即可求得結(jié)論

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c=1，
由$\overrightarrow{B{F}_{1}}$•$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=2，可得2b²-a²=2，
又a²-b²=1，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
故橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，設(shè)△F₁MN的內(nèi)切圓的徑R，
則△F₁MN的周長(zhǎng)l=4a=8，${S}_{△{F}_{1}MN}=\frac{1}{2}$（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R．
因此${S}_{△{F}_{1}MN}$最大，R就最大，
由題知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
得${y}_{1}=\frac{-3m+6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{2}=\frac{-3m-6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
則${S}_{△{F}_{1}MN}=\frac{1}{2}$|F₁F₂|（y₁-y₂）=y₁-y₂=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
令t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，則t≥1，
則${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{12t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$，
令f（t）=3t+$\frac{1}{t}$，則f′（t）=3-$\frac{1}{{t}^{2}}$，
當(dāng)t≥1時(shí)，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，有f（t）≥f（1）=4，${S}_{△{F}_{1}MN}$≤3，
即當(dāng)t=1，m=0時(shí)，${S}_{△{F}_{1}MN}$≤3，
${S}_{△{F}_{1}MN}$=4R，∴R_max=$\frac{3}{4}$，這時(shí)所求內(nèi)切圓面積的最大值為$\frac{9}{16}$π．
故直線l：x=1，△F₁MN內(nèi)切圓面積的最大值為$\frac{9}{16}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，分析得出${S}_{△{F}_{1}MN}$最大，R就最大是關(guān)鍵，是中檔題．