Question

15．已知關(guān)于x的方程x²-2mx+4m²-6=0的兩根α，β，且α＜0＜β，試求（α-1）²+（β-1）²的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=x²-2mx+4m²-6，則由題意可得f（0）=4m²-6＜0，求得-$\sqrt{\frac{3}{2}}$＜m＜$\sqrt{\frac{3}{2}}$，再由韋達(dá)定理、二次函數(shù)的性質(zhì)求得（α-1）²+（β-1）²取的范圍．

解答 解：設(shè)f（x）=x²-2mx+4m²-6，則由題意可得f（0）=4m²-6＜0，故有-$\sqrt{\frac{3}{2}}$＜m＜$\sqrt{\frac{3}{2}}$，
且由韋達(dá)定理可得 α+β=2m，α•β=4m²-6，
∴（α-1）²+（β-1）²=α²+β²-2（α+β）+2=（α+β）²-2αβ-2（α+β）+2
=4m²-2（4m²-6）-2•2m+2=-4m²-4m+14=-4${（m+\frac{1}{2}）}^{2}$+15，
故當(dāng)m=-$\frac{1}{2}$時(shí)，（α-1）²+（β-1）²取得最大值15；
當(dāng)m趨于$\sqrt{\frac{3}{2}}$時(shí)，（α-1）²+（β-1）² 趨于5+4$\sqrt{6}$，
故（α-1）²+（β-1）² 趨的范圍是（5+4$\sqrt{6}$，15]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．