Question

10．如圖所示，已知定圓F₁：x²+y²+10x+24=0，定圓F₂：（x-5）²+y²=16，動圓M與定圓F₁，F(xiàn)₂都外切，求動圓圓心M的軌跡方程．

Answer 1

分析 根據(jù)兩圓外切的充要條件轉(zhuǎn)化為雙曲線的定義求解．

解答 解：圓F₁：x²+y²+10x+24=0可化為（x+5）²+y²=1，
圓F₂：（x-5）²+y²=4²，
∴F₁（-5，0），半徑r₁=1；F₂（5，0），半徑r₂=4．
設(shè)動圓M的半徑為R，則|MF₁|=R+1，|MF₂|=R+4，
∴|MF₂|-|MF₁|=3＜|F₁F₂|=10．
∴M點的軌跡是以F₁、F₂為焦點的雙曲線左支，且a=$\frac{3}{2}$，c=5，
∴b²=25-$\frac{9}{4}=\frac{91}{4}$．
∴動圓圓心M的軌跡方程為$\frac{4{x}^{2}}{9}-\frac{4{y}^{2}}{91}$=1（x≤-$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查軌跡方程的求法，該題將相切問題轉(zhuǎn)化為動點到兩定點的距離問題，應(yīng)聯(lián)想能運用圓錐曲線的定義求解，是中檔題．