Question

5．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1的值域?yàn)椋?∞，-1]∪[3，+∞），則a²⁰⁰⁸=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 對a分類分析，可知當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1的值域符合題意，求出其值域，結(jié)合f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1的值域?yàn)椋?∞，-1]∪[3，+∞）列關(guān)于a的方程組求a，則答案可求．

解答 解：若a=0，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1=x+1，不滿足值域?yàn)椋?∞，-1]∪[3，+∞）；
若a＜0，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1在（-∞，0），（0，+∞）上為增函數(shù)，函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1的值域?yàn)椋?∞，+∞），不滿足題意；
若a＞0，則當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1$≥2\sqrt{x•\frac{a}{x}}+1=2\sqrt{a}+1$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{a}$時(shí)取“=”；
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1≤-2$\sqrt{（-x）•\frac{a}{-x}}+1=-2\sqrt{a}+1$，當(dāng)且僅當(dāng)x=-$\sqrt{a}$時(shí)取“=”．
由$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{a}+1=3}\\{-2\sqrt{a}+1=-1}\end{array}\right.$，解得a=1．
∴a²⁰⁰⁸=1²⁰⁰⁸=1．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)值域的求法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是基礎(chǔ)題．