已知，a，b，c∈[0，1]．求證：
a
1+b+c
+
b
1+a+c
+
c
1+a+b
+（1-a）（1-b）（1-c）≤1．
考點：不等式的證明
專題：推理和證明
分析：思路分析：設0≤a≤b≤c≤1，根據(jù)已知，先放大
a
1+b+c
+
b
1+a+c
+
c
1+a+b
≤
a+b+c
a+b+1
，再證明
a+b+c
a+b+1
+（1-a）（1-b）（1-c）≤1，再作適當?shù)姆趴s即可．
解答： 證明：設0≤a≤b≤c≤1，則
a
1+b+c
+
b
1+a+c
+
c
1+a+b
≤
a+b+c
a+b+1
，
要證明原不等式成立，只需證明：
a+b+c
a+b+1
+（1-a）（1-b）（1-c）≤1即可，
因為左邊=
a+b+1
a+b+1
+
c-1
a+b+1
+（1-a）（1-b）（1-c）
=1-
1-c
a+b+1
[1-（1+a+b）（1-a）（1-b）]，
而（1+a+b）（1-a）（1-b）≤（1+a+b+ab）（1-a）（1-b）=（1+a）（1+b）（1-a）（1-b）=（1-a2）（1-b2）≤1，
所以，1-（1+a+b）（1-a）（1-b）≥0，-
1-c
a+b+1
[1-（1+a+b）（1-a）（1-b）]≤0，
所以1-
1-c
a+b+1
[1-（1+a+b）（1-a）（1-b）]≤1，即
a+b+c
a+b+1
+（1-a）（1-b）（1-c）≤1成立，
故原不等式成立．
點評：本題考查不等式的證明，著重考查放縮法與分析法的綜合運用，考察轉化思想與推理證明的能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知函數(shù)f（x）一次函數(shù)，且f（f（x））=16x+15，求f（x）．
（2）已知函數(shù)f（x）二次函數(shù)，且滿足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，求f（x）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

假設△ABC為圓的內(nèi)接正三角形，向該圓內(nèi)投一點，則點落在△ABC內(nèi)的概率（　�。�
A、
3
3
4π
B、
2
π
C、
4
π
D、
3
3
π
4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

不等式16x-logax＜0在(0，
1
4
)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍（　�。�
A、(
1
4
，1)
B、(
1
2
，1)
C、[
1
2
，1)
D、[
1
4
，1)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

用秦九韶算法計算當x=10時，f（x）=3x4+2x2+x+4的值的過程中，v1的值為（　�。�
A、30B、40C、35D、45

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且{
1
an
}是等差數(shù)列，公差d＞0，a1=
1
2
，S3=
13
12
，函數(shù)f（x）=
x
1+x
-ln（1+x）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求證：f（an）＜0（n∈N*）；
（Ⅲ）求證：sn＜ln（1+n）對一切正整數(shù)n都成立．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列說法中正確的是（　　）
A、平面內(nèi)與兩個定點的距離和等于正的常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓
B、不等式ax-b＞0的解集為（1，+∞）的充要條件是：a=b
C、“若 a2+b2=0，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b全不為0，則a2+b2≠0”
D、一個命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有以下四個命題：
①命題“?x∈R，x2-x＞0”的否定是“?x∈R，x2-x≤0”；
②已知a＞0，b＞0，則
a
＞
b
是a＞b的充要條件；
③命題“若m＞0，則方程x2+x-m=0有實根”的逆命題為真命題；
④命題“?∈R，|x+4|-|x-1|＜k”是真命題，則k＞5．
其中正確命題的序號是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知三角形AOB的頂點的坐標分別是A（4，0），B（0，3），O（0，0），求三角形AOB外接圓的方程．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案