Question

12．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，若|PF₁|=10，橢圓與雙曲線的離心率分別為e₁、e₂，則e₁+e₂的取值范圍是$（\frac{4}{3}，+∞）$．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{_{1}^{2}}=1$，$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{_{2}^{2}}=1$．（a₁，a₂，b₁，b₂＞0，a₁＞b₁）．根據(jù)△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，|PF₁|=10，可得10+2c=2a₁，10-2c=2a₂，可得$2=\frac{1}{{e}_{1}}-\frac{1}{{e}_{2}}$，于是e₁+e₂=e₂+$\frac{{e}_{2}}{2{e}_{2}+1}$=f（e₂），e₂＞1．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{_{1}^{2}}=1$，$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{_{2}^{2}}=1$．（a₁，a₂，b₁，b₂＞0，a₁＞b₁）
∵△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，|PF₁|=10，
∴10+2c=2a₁，10-2c=2a₂，
相減可得：2c=a₁-a₂，
∴$2=\frac{1}{{e}_{1}}-\frac{1}{{e}_{2}}$，
∴${e}_{1}=\frac{{e}_{2}}{2{e}_{2}+1}$，
∴e₁+e₂=e₂+$\frac{{e}_{2}}{2{e}_{2}+1}$=f（e₂），e₂＞1．
∴f′（e₂）=1+$\frac{2{e}_{2}+1-2{e}_{2}}{（2{e}_{2}+1）^{2}}$=1+$\frac{1}{（2{e}_{2}+1）^{2}}$＞0，
∴函數(shù)f（e₂）在e₂＞1時(shí)單調(diào)遞增，
∴f（e₂）＞f（1）=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$．
∴e₁+e₂的取值范圍是$（\frac{4}{3}，+∞）$．
故答案為：$（\frac{4}{3}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、離心率計(jì)算公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．