Question

17．極坐標(biāo)中，橢圓C的中心在極點O，短軸端點為P（1，$\frac{π}{2}$），一個焦點為F（$\sqrt{3}$，0）．
（1）寫出橢圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）點A、B在橢圓上，且OA⊥OB，求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的短軸端點為P（1，$\frac{π}{2}$），一個焦點為F（$\sqrt{3}$，0），可得b=1，c=$\sqrt{3}$，a=2，求出橢圓的直角坐標(biāo)方程，再求出橢圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，代入橢圓方程，兩式相加，利用基本不等式求出△OAB面積的最小值．

解答 解：（1）橢圓的短軸端點為P（1，$\frac{π}{2}$），一個焦點為F（$\sqrt{3}$，0）．
所以b=1，c=$\sqrt{3}$，
所以a=2，
所以橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
所以橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²cos²α+4ρ²sin²α=4；
（2）可由OA⊥OB，設(shè)A（|OA|cosα，|OA|sinα），B（|OB|cos（α+$\frac{π}{2}$），|OB|sin（α+$\frac{π}{2}$）），即B（-|OB|sinα，|OB|cosα）．
將A，B代入橢圓方程后可得：$\frac{co{s}^{2}α}{4}+si{n}^{2}α$=$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$，$\frac{si{n}^{2}α}{4}+co{s}^{2}α$=$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$
兩式相加可得：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{5}{4}$
同時：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$≥$\frac{2}{|OA||OB|}$，
所以|OA||OB|≥$\frac{8}{5}$，
所以S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OA||OB|≥$\frac{4}{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)|OA|=|OB|時取等，即△OAB面積的最小值為$\frac{4}{5}$． （12分）

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查橢圓的參數(shù)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運(yùn)用，確定橢圓的方程是關(guān)鍵．