Question

9．已知f（x）=x²-4x+4，f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），f_n（x）=f（f_n-1（x）），函數(shù)y=f_n（x）的零點個數(shù)記為a_n，則a_n=2^n-1．

Answer 1

分析 分別求出函數(shù)y=f₁（x）、y=f₂（x）、y=f₃（x）的零點個數(shù)，歸納得到函數(shù)y=f_n（x）的零點個數(shù)．

解答 解：f（x）=x²-4x+4=（x-2）²，f₁（x）=f（x），∴函數(shù)y=f₁（x）的零點個數(shù)a₁=1=2⁰；
f₂（x）=f（f₁（x））=[（x-2）²-2]²，由f₂（x）=0，得$x=2±\sqrt{2}$，∴y=f₂（x）的零點個數(shù)a₂=2=2¹；
f₃（x）=f（f₂（x））={[（x-2）²-2]²-2}²，由f₃（x）=0，得x=$±\sqrt{2-\sqrt{2}}$或x=$±\sqrt{2+\sqrt{2}}$，∴函數(shù)y=f₃（x）的零點個數(shù)a₃=4=2²；
由此歸納可得：${a}_{n}={2}^{n-1}$．
故答案為：2^n-1．

點評 本題考查函數(shù)零點個數(shù)的判定，考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了歸納法求數(shù)列的通項公式，是基礎(chǔ)題．