Question

19．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的最大值為2，最小正周期為π，直線x=$\frac{π}{6}$是其圖象的一條對(duì)稱軸，求函數(shù)g（x）=f（x-$\frac{π}{12}$）-f（x+$\frac{π}{12}$）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 利用已知條件求出函數(shù)的解析式，然后利用兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)解析式利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解單調(diào)增區(qū)間即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的最大值為2，A=2；
最小正周期為π，可得ω=2，
直線x=$\frac{π}{6}$是其圖象的一條對(duì)稱軸，不妨得$2×\frac{π}{6}+φ=\frac{π}{2}$，φ=$\frac{π}{6}$．
函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
函數(shù)g（x）=f（x-$\frac{π}{12}$）-f（x+$\frac{π}{12}$）=2sin2x-2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
=2sin2x-2sin2xcos$\frac{π}{3}$-2cos2xsin$\frac{π}{3}$
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，考查兩角和與差的三角函數(shù)，計(jì)算能力．