17.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知ccosB=(2a-b)cosC.
(1)求角C的大小;
(2)若AB=4,求△ABC的面積S的最大值,并判斷當(dāng)S最大時(shí)△ABC的形狀.

分析 (1)已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn),再利用誘導(dǎo)公式變形,求出cosC的值,即可確定出C的度數(shù);
(2)由c與C的度數(shù),表示出三角形ABC面積,利用余弦定理及基本不等式求出ab的最大值,進(jìn)而確定出三角形ABC面積的最大值,以及此時(shí)三角形的形狀即可.

解答 解:(1)∵ccosB=(2a-b)cosC,
∴由正弦定理可知,sinCcosB=2sinAcosC-sinBcosC,
即sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosC,
∴sin(C+B)=2sinAcosC,
∵A+B+C=π,∴sinA=2sinAcosC,
∵sinA≠0,
∴cosC=$\frac{1}{2}$,
∵0<C<π,
∴C=$\frac{π}{3}$;
(2)由題可知c=4,C=$\frac{π}{3}$,
∴S△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab,
∵由余弦定理可知:a2+b2=c2+2abcosC,即a2+b2=16+ab≥2ab,
∴ab≤16,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào),
∴S△ABC的最大值為4$\sqrt{3}$,此時(shí)三角形為等邊三角形.

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理,以及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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7.某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率直方分布圖如圖所示,其中成績(jī)分組區(qū)間是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求圖中x的值;
(2)根據(jù)頻率直方分布圖計(jì)算該班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)與中位數(shù)(精確到個(gè)位);
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8.已知a,b,c為正實(shí)數(shù),給出以下結(jié)論:
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②若a+2b+2ab=8,則a+2b的最小值是4;
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④若a2+b2+c2=4,則ab+bc的最大值是2$\sqrt{2}$.
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5.如圖,下列幾何體各自的三視圖中,三個(gè)視圖各不相同的是( 。
A.              
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D.
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12.已知$\overrightarrow a$=(1,-2),$\overrightarrow b$=(3,4),若$\overrightarrow a$與$\overrightarrow a$+λ$\overrightarrow b$夾角為銳角,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是( 。
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2.如圖所示的算法中,輸出的S的值為( 。
A.15B.16C.17D.18

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