Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（8，-4），P（2，t）（t＜0）在拋物線y²=2px（p＞0）上．
（1）求p，t的值；
（2）過點(diǎn)P作PM垂直于x軸，M為垂足，直線AM與拋物線的另一交點(diǎn)為B，點(diǎn)C在直線AM上．若PA，PB，PC的斜率分別為k₁，k₂，k₃，且k₁+k₂=2k₃，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用代入法，即可求得p，t；
（2）求得M（2，0），求出直線AM的方程，代入拋物線方程，可得B的坐標(biāo)，運(yùn)用正弦的斜率公式，可得k₁=-$\frac{1}{3}$，k₂=-2，代入k₁+k₂=2k₃得k₃，進(jìn)而得到直線PC方程，再聯(lián)立直線AM的方程，即可得到C的坐標(biāo)．

解答 解：（1）將點(diǎn)A（8，-4）代入y²=2px，
得p=1，
將點(diǎn)P（2，t）代入y²=2x，得t=±2，
因?yàn)閠＜0，所以t=-2．                 
（2）依題意，M的坐標(biāo)為（2，0），
直線AM的方程為y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
聯(lián)立拋物線方程y²=2x，并解得B（$\frac{1}{2}$，1），
所以k₁=-$\frac{1}{3}$，k₂=-2，
代入k₁+k₂=2k₃得，k₃=-$\frac{7}{6}$，
從而直線PC的方程為y=-$\frac{7}{6}$x+$\frac{1}{3}$，
聯(lián)立直線AM：y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
并解得C（-2，$\frac{8}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查方程的運(yùn)用，注意聯(lián)立直線方程和拋物線方程求交點(diǎn)，以及直線的斜率公式的運(yùn)用和兩直線的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為解方程，屬于中檔題．